Теорема Ферма. 33. Главный логический момент
/Подарок моим читателям/
Возможно, у некоторых читателей моего доказательства ВТФ остается смутное чувство, что «здесь что-то НЕ ТАК!». И они правы: несмотря на то, что каждый логический довод представляет собой, казалось бы, ТОЛЬКО числовой расчет, констатация одного тождества представляется сомнительной. К счастью, и его логику мне удалось свести к точному расчету. Речь идет об утверждении, что k-значные окончания КАЖДОГО простого соможителя числа T – также, как и числа R, в числах-двойниках Cn и D из
1°) Cn=An+Bn [...=(A+B)R=cnrn] (где C не кратно n) и
2°) D=(C-B)n+(C-A)n=[(C-B)+(C-A)]T (где T=rv и числа r и v – взаимно простые), –
равны 1.
Я обосновал это утверждение тем, что, поскольку (k+1)-значные окончания чисел C^n и D равны, а k-значные окончания первых их сомножителей – (A+B) и [(C-B)+(C-A)] – тоже равны, то и k-значные окончания вторых сомножителей – R и T – так же равны и равны ТОЖДЕСТВЕННО. И вот последнее утверждение (о тождественности) сегодня мне представлятся неправомочным.
Это очень тонкий момент, и можно придумать контрпример, когда k-значное окончание числа T равно 1, а окончаниях его сомножителей – НЕ единичны! Когда я это понял, то сразу аннулировал крупную премию за обнаружение ошибки в моем доказательство ВТФ. Но и в доказательстве от 1 декабря 17-го года равенство окончаний всех простых сомножителей числа T единице НЕ доказано удовлетворительно!
А ведь ларчик открылся настолько просто, что призывать на помощь так называемую среднюю теорему Ферма (о единичных окончаниях числа R в случае, когда сами основания А и В являются степенями) оказалось ненужным – всё объяснилось гораздо проще, что и позволяет поставить последнюю точку в доказательстве ВТФ.
Степенным (можно было бы и степенно-степенным) окончанием я (вместе с П.Ферма) назвал k-значное окончание числа А, описываемое формулой A'n^{k-1}, где A' – последняя цифра числа A (не кратного простому n). А число A'n-1, согласно малой теореме Ферма, оканчивается на цифру 1! Из этого легко видеть, что k-значное окончание СТЕПЕННОГО числа А (имеющего окончание A'n^{k-1}) в степени n-1 равно 1. Причем, что важно, и КАЖДЫЙ простой сомножитель числа A в степени n-1 также имеет единичное окончание! (Ибо когда число возводится в какую-либо степень, то в эту же степень возводится и каждый его сомножитель!) (В качестве простых сомножителей k-значных окончаний чисел R и T мы условно берем сомножители k-значных окончаний числа c в степени n-1, оканчивающиеся, согласно малой теореме Ферма на1.)
Но из этого следует, что для равенства k-значных окончаний всех сомножителей числа T единице, нам ДОСТАТОЧНО знать, что Т является степенным числом с длиной степенного окончания в k знаков. А вот это-то проще простого!
Если число А степенное, то его k-значное окончание в степени n-1 равно 1. А если НЕ степенное, то НЕ равно 1 (что легко доказывается методом от противного). Из этого легко вывести арифметику: произведение двух степенных чисел есть число степенное, а произведение степенного на нестепенное есть число нестепенное. А в равенстве 2° число D=(C-B)n+(C-A)n является степенным, поскольку его (k+1)-значное окончание равно окончанию степенного числа (A+B)n. При этом и числа (A+B) и [(C-B)+(C-A)] тоже являются степенными (с k-значным окончанием), СЛЕДОВАТЕЛЬНО, и число T является степенным с последней цифрой 1 в КАЖДОМ его сомножителе и, следовательно, k-значное окончание КАЖДОГО его простого сомножителя равно 1!
(И противоречие равенства Ферма налицо: длина единичного окончания числа r, являющегося сомножителем числа T, оказывается равной или даже превышающей длину единичного окончания числа R, являющегося степенью числа r!)
***
Вот такая хренотень для короткого вывода, а сколько «буков»! Но зато теперь, отойдя от ВТФ на некоторое расстояние, отчетливо видно, что великая теорема Ферма – это арифметика со степенными числами, где степенные окончания являются функциональными аналогами последних цифр чисел А, В, С, C-B, C-A, A+B, R, T, а их вторые цифры в доказательстве не фигурируют ВООБЩЕ!
***
Я рад, что за неделю доказательство ВТФ прочитали 2.000 российских школьников и, возможно, студентов. Надеюсь, что кто-нибудь из них разберется в доказательстве до конца.
