Самое доступнеое изложение.  Но поработать для понмания все равно нужно.

ЛЕММА и Теорема Ферма для «чайников».

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A'', A''' – первая, вторая, третья, A_(k) – k-я и т.д. цифра от конца числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа A. Без этих обозначений текст удлинняется втрое.

Числа А, В, С в равенстве Ферма особые: если они не оканчиваются на ноль (т.е. не кратны n), то их [k+1]-значные окончания являются [k+1]-значными окончаниями сложностепенных чисел a'^{n^k}, b'^{n^k}, c'^{n^k}. При этом все остальные цифры (не считая последних нулей в числе кратном n, если такое есть) НИКАКОГО участия в доказательстве не принимают! Получается, что в равенстве Ферма участвуют лишь три последние значащие цифры чисел А, В, С. Поэтому к моему доказательству ВТФ ни величина чисел А, В, С, ни их простые сомножители отношения не имеют и, следовательно, на него (т.е. доказательство) не распространяется якобы существующая теорема о недоказуемости ВТФ.

Сложностепенные числа a^{n^k}, b^{n^k}, c^{n^k] примечательны тем, что их [k+1]-значные окончания никак не зависят от [k+1]-значных окончаний их оснований (a, b, c), которые определяются только их последними цифрами a', b', c', что возможно только в системе счисления с простым основанием и что легко вытекает из бинома Ньютона. (Вот почему я исследовалал равенство Ферма в основном в такой системе счисления.)

Еще одно восхитительное свойство сложностепенных чисел мы наблюдаем в случае последней цифры их основания равной 1: их [k+1]-значное окончание равно... 1! Ну разве это не изящно?! Например, при k=1 (это стартовая ситуация в равенстве Ферма) такое число оканчивается на 01. Ну а поскольку любое число с ненулевой последней цифрой, позведенное в (n-1)-ю степень оканчивается на цифру 1 (в этом и состоит содержание малой теоремы Ферма), то [k+1]-значное окончание сложностепенного числа, не оканчивающегося на ноль, в (n-1)-й степени также равно 1!

Не думаю, что идея рассмотреть числа А, В, С в равенстве Ферма как окончания сложных степеней впервые пришла в голову мне (хотя такие случаи мне не известны). Но я обнаружил фантастическое свойство сложностепенных чисел с последней цифрой основания большей 1, которое человеку с математическим чутьем кажется просто нереальным: [k+2]-значное окончание A^n_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2] не может являться произведением двух окончаний сложностепенных чисел, у которых [k+2]-значное окончание второго числа не равно 1! Иными словами, если окончание
1°) A^n_[k+2], или a'^{n^(k+1)}_[k+2]=(bc)_[k+2], где c'=1, то непременно c_[k+2]=1 и b_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2]!
И вот поверить в это равенство в таком готовом виде человеку даже с очень большой математической интуицией так же невозможно, как поверить в существование вечного двигателя первого рода. Но «Провидение» подвело меня к нему с черного хода!..

Малую теорему Ферма как инструмент для обнаружения противоречия я использовал давно. В частности, нашел красивую формулу для получения бесконечного множества простых чисел m вида m=dn^k+1 (к сожалению не по отдельности, а в виде их произведений). Но в этих случаях я возводил в (n-1)-ю степень каждое из двух слагаемых. А в случае сложностепенных чисел я столкнулся с произведением сомножителей. И поскольку я был уже на последнем издыхании – ибо перебрал все инструменты, наработанные за 28 лет, то мне ничего не оставалось, как поставить на кон последнюю фишку: проверить равенство 1° на зубок – в (n-1)-й степени! И еще не производя вычислений, я почувствовал, что оно обещает противоречие!

В самом деле: если равенство 1° с сомножителями, отличными от значений в 1°, выполняется по [k+2]-значным окончаниям, то на этих окончаниях равенство должно сохраниться и после возведения его в (n-1)-ю степень. Но тут оно вполне определенно НАРУШАЛОСЬ! И это было похлеще «недоказуемости» теоремы Ферма! Не это ли обстоятельство так восхитило автора Великой теоремы?!

А вот проверка этого факта ни малейшей трудности не составляет для любого, кто знает бином Ньютона, ибо, не считая его, сама арифметика состоит в перемножении двух двучленных чисел – правда, в общем виде, на буквах. При этом при любом значении k вычисления будут абсолютно одинаковыми, а потому мы проверим на противоречие лишь случай с k=1. Покажем, что если в равенстве 1° вместо окончаний  b[3]=a'^{n^2}_[3] и c_[3]=1 взять b°_[3]=x00+b'^{n^2}_[3] и c°_[3]=y00+1, то равенство a'^{n^2}_[3]=(b°c°)_[3]  будет НЕВОЗМОЖНО! (Здесь x и y – ЦИФРЫ, которые определяются вторыми цифрами b'' и c'' чисел b и c.)

А теперь смотрите, что получается. При любом значении х всегда можно найти такое значение у, что равенство 1° будет соблюдаться [при условии x=(-b'y)']. НО! Стоит нам возвести равенство в (n-1)-ю степень, как по [3]-значным окончаниям оно ИСЧЕЗАЕТ!

И действительно, после возведения (n-1)-ю степень [3]-значное окончание левой части становится равным 001 и, следовательно, третья цифра становится равной нулю.

Теперь возведем (n-1)-ю степень правую часть. При этом в биномах Ньютона нам потребуется учесть всего лишь два последних члена.

Трехзначное окончание числа c_[3]=y01 (т.е. у00+1) после возведения в (n-1)-й степень станет равным (n-1)y+1 с третьей цифрой [(n-1)y]' [напомню: здесь x и y – цифры!].

Поскольку b°_[3]=x00+b_[3]=x00+a'^{n^2}_[3] [где трехзначное окончание второго слагаемого в (n-1)-й степени равно 001], то трехзначное окончание числа b°_[3] в (n-1)-й степени будет равно [(n-1)x00(b'^{nn}')^{n-2}+1]_[3], где b'^{nn}'=b' (см. малую теорему), а потому третья цифра числа b°^{n-1} будет равна [(n-1)x(b')^{n-2}]', или [(n-1)x(b')^{n-1}/b']', где a'^{n-1}'=1.

И теперь третья цифра самого произведения (b°c°)n-1 будет равна: [(n-1)x/b'+b'(n-1)y]' [=0!], откуда x=-b'b'y, где b'≠1. И мы получили противоречие с n-й степенью: x=-b'y.

Тем самым мы должны признать, что истинные значения: c[3]=1 и b[3]=a'^{n^2}_[3], или в общем случае: c_[k+2]=1 и b_[k+2]=a'^{n^(k+1)}_[k+2].

Ну а сама Великая теорема Ферма теперь выеденного яйца не стоит: в равенстве Ферма [k+1]-значные окончания чисел A, B, C являются окончаниями n^k-х степеней однозначных чисел A', B', C', где k стремится к бесконечности.

Ну не смешно ли?!

Лет с 15 я умею смотреть на себя и на результаты своего труда взглядом со стороны. (Это означает, что у меня два Я, что делает меня вдвое богаче.) Поэтому о доказанности теоремы Ферма я знаю не только изнутри, которое (а может, которая?) ошибается чаще, чем все остальные люди, но и извне, где находится все мои критерии, в том числе и критерии Истины. Так что если внутри я сомневаюсь, что 2х2=4, то вовне почти нет, т.е. я даю голову на отсечение, что 2х2=4 и лишь чисто формально считаю, что всё, и эта формула тоже, может быть ошибочным. Благодаря этому мне удалось опровергнуть большое число утверждений, всеми считаемых истинами. Но опять же, напоминаю, что я никого ни в чем не убеждаю, а пишу это для... Для кого же?! Ой, и не знаю! Может быть, для двух-трех близких друзей да не известных мне интересных людей...

Так вот, из свого внешнего Я я шокирован запредельной примитивностью найденного мною доказательства теоремы Ферма: по сути, ОДНА операция (возведение равенства Ферма в (n-1)-ю степень, не считая, правда, простейших подготовительных преобразований) с нахождением ОДНОЙ (зато какой!) цифры! Вообще-то, если без эмоций, то и цифра-то так себе – какая-то не ноль и не единица, скажем – 2. И вот спрашивается, какого черта миллионы головоломщиков три с половиной века искали эту самую двойку?! И ведь искали не как-нибудь, а тысячи ферматистов (как и автор этих строк) как последние идиоты жизни свои клали на алтарь никому не нужной НАУКИ! И теперь вот выясняется, что все это из-за какой-то ДВОЙКИ! И двойки не долларов или рублей, а двойки-пшик – что она была, что ее не было – никому от этого ни тепло, ни холодно. Но это ПОКА!..

Наука имеет волшебное свойство просачиваться через самые прочные и толстые преграды, и (у меня) нет ни малейшего сомнения, что мое доказательство предстанет перед синклитом мировой науки. Причем уже после того, как о нем будет уже знать вся любознательная часть общества. И вот тогда-то и начнется!..

А что начнется? Ну не рухнула же она от того, что двести лет назад англичанин Конгрев запустил мощнейший вечный двигататель первогого рода! Физики лишь утерлись, но вины своей не признали по сей день!. И даже после того, как двадцать лет назад я разложил по полочкам все тонкости проблемы с объяснение того, что никакиго вечного дигателя нет, а есть всемирное ротозейство науки и бизнеса, выбрасывающих на ветер половину добываемой человечеством энергии, воз и ныне там...

Но там физика – дело для многих темое. А тут математика с таблицей умножения, против которой не попрешь. Через какое-то время господа академики будут вынуждены огласить вердикт: либо элементарного (не Уайлса) доказательства теоремы Ферма нет и тогда нужно признать ошибочной и таблицу умножения, либо...

Однако я не буду спешить рассказывать о светопреставлении. Конечно, мне, на орехи достанется. А толку? Мне ужо пора ТУДА... Впрочем, это по российскому расписанию, а французы Косую несколько утихомирили. Так что кто знает какой финт Сорокин выкинет напоследок...

Да-да, в Расее либералов и гуманистов считают фашистами и террористами, а фашистов - родными братьями. Ну и ветер им в бок!

Теорема Ферма. Предельное упрощение сути

Феноменальное свойство равенства Ферма состоит в том, что в равенстве
A^n=C^n-B^n=(C-B)P, где последняя цифра A'>1, для любого сколь-угодно большого k, [k+1]-значные окончания (C-B)_[k+1] и P_[k+1] чисел C-B и P есть окончания чисел A'^{n^k} и 1^{n^k} (т.е. 00...01).
Доказательство содержит единственное вычисление: возведение равенства An=(C-B)P в (n-1)-ю степень, после чего неравенство по (k+2)-м цифрам становится очевидным.
/Текст доказательства (2 стр.) высылается по запросу./
========
Любопытно все же наблюдать, по какому закону факт доказанности доберется до высших эшелонов научной власти...

Теорема Ферма в двух словах

С помощью Средней теоремы Ферма, причем безо всяких вычислений, легко вывести, что каждое из чисел А, В, С в равенстве Ферма состоит лишь из одной цифры, но в бесконечно большой степени n в степени k (т.е. в степени n^k). Однако Среднюю теорему никто не искал, да скорее всего и искать не стал бы, ибо чувственно, интуитивно является неверной. И хотя для проверки нужна всего одна минута, потратить ее никто НЕ РИСКНУЛ. В связи с этим я вспоминаю один забавный случай.

Однажды в 1987 году, гуляя по Парижу с одним переводчиком, я увидел телефонную будку и мне в голову пришла озорная идея. «Вот, – говорю я спутнику, – номер телефона технического отдела английской фирмы «Локхид», производящей подлодки. Давай позвони им и скажи, что русский изобретатель в Париже изобрел бесшумный и сверхэкономичный движитель для подводных лодок. Если их это заинтересует, дай им номер моего телефона. И если контакт состоится и они заключат со мной сделку, то десять процентов тебе!» «Нет, – сказал спутник, – не хочу РИСКОВАТЬ!»...

К счастью, для проверки истинности Средней теоремы Ферма мне было нужно знать всего три мелочи: два последних члена в формуле бинома Ньютона, формулу малой теоремы Ферма и правила умножения двузначных чисел. Самое трудное было последнее – умножение двузначных чисел (xn+a на yn+1), ибо я один из самых рассеянных людей на свете. К счастью, с десятой попытки и при стократной проверке я умножение осилил и тем самым доказал одну из фундаментальных теорем в теории чисел.

Теорема, бесспорно, сказочная. Это ее Пьер Ферма имел в виду, когда делал на полях «Арифметики» Диофанта запись о доказательстве Великой теоремы. Средняя теорема действительно фантастическая. Судите сами: триста лет каждый из миллиона ферматистов первым делом ПЕРЕШАГИВАЛ через формулу Средней теоремы, т.е. через факт: трехзначные окончания чисел A^n и C-B в формуле A^n=C^n-B^n=(C-B)P РАВНЫ! Нет, не равны! – с уверенностью утверждали они и я 30 лет в их числе! И... все дружно перлись МИМО – в безнадежную НЕВОЗМОЖНОСТЬ!!!

Впрочем, то, что противоречие равенства Ферма кроется в третьих цифрах, я заподозрил уже тогда, когда расписал числа А, В, С в системе счисления с простым основанием n. Но до решающего возведения равенства Ферма в (n-1)-ю степень прошли 25 лет! Это как с иголкой в стоге сена: можно случайно найти иголку, но попробуйте найти ее во второй раз, забросив обратно в стог сена! Без правильной ЛОГИКИ ПОИСКА задача действительно неразрешимая.

В отличие от всех профессионалов, я, к счастью, был убежден в ЧЕСТНОСТИ Пьера Ферма, что с полной определенностю вытекало из логики его записи на полях «Арифметики»: его восхищение порождалось яркой ПРОСТОТОЙ доказательства и, следовательно, ошибка ИСКЛЮЧАЛАСЬ! Таким образом, путь к доказательству лежал через как бы визуальное ПОНИМАНИЕ равенства и взаимоотношений его чисел и цифр. И... логическая цепочка завершилась успехом!

Наконец, весьма важным вкладом в победу явилась моральная поддержа близких людей – Авраама Серединского и Светланы Барской. Не оправдать их веру в мои возможности было сильнее позора! И... ключевая операция – возведение равенства Ферма в (n-1)-ю степень – проступила на небосклоне...

Таким образом, мой теперешний земляк Пьер Ферма стал мне еще и нареченным братом...

Мышли. 74. Теорема Ферма и мнение обывателя

В советской жизни в нас воспитывали презрительное отношение к обывателю как к общественному явлению. Но с тринадцати лет относясь ко всему с большим сомнением, я с тал копаться в пороках обывательщины и увидел очень простую вещь: оказывается, за пределами своей профессии почти КАЖДЫЙ человек является обывателем. Ну да, есть еще тонкий слой людей, которые подчиняют свою жизнь служению человечеству, но и в этом случае, если эти «слуги» – не обыватели, то им неведомо содержание жизни большинства людей и их забота о человечестве может выйти для последнего боком.

Так что нафиг-нафиг – я живу полноценной и разносторонней жизнью ЛЮБИТЕЛЯ и ни в одной области не считаю себя профессионалом, ну разве что в изобретательстве. Впрочем, и здесь я не профессинал, как, например, тризовцы. Они изобретают по алгоритму – быстро и надежно. К счастью, при оценке результата большинство из них способно отвлекаться от алгоритма и оценивать сделанное глазами обывателя.

Но профессионалам в других областях я сочувствую: они лишены способности видеть свою область глазами обывателя! Меня забавляет реакция профессиональных математиков на мое доказательство теоремы Ферма. Поначалу я несколько обижался. Скажешь ему про свою идею доказательства, а у него сразу глаза становятся стеклянными и он тебя в пор не видит, хотя за пять минут до того бурно и единодушно мы обсуждали что-то из другой области. Но после фразы о теореме!..

И ладно бы, если бы я требовал от него официального отзыва – тут дело ответственное, тут ошибка может стоить всей математической карьеры. Но я-то ожидаю от него всего-навсего лишь приблизительной оценки – с вводными словами: представляется, похоже, любопытно!.. И я вполне допускаю, что профессионал может ошибаться в вещах детских, в азах школьной программы. Ошибка недопустима лишь в ответственных расчетах инженера, где она может привести к человеческой беде. А здесь от человека требуется всего-навсего прикинуть вероятность доказанности на основе своей интуиции. Если, конечно, последняя есть.

В отличие от известных мне ферматистов, я своим доказательствам предваряю их краткую суть. В случае с теоремой Ферма суть оказалась по существу равной доказательству и состоит из одной фразы: при возведении равенства Ферма в (n-1)-ю оно превращается... в [поцифровое] неравенство. Всего одна вычислительная операция, а все остальное – слова...

И здесь интересна не краткость доказательства Великой теоремы Ферма (у меня 1 страница, у Уайлса – 100) и не то, что Пьер Ферма оказался умнее миллионов своих потомков, а то, что обнаружено совершенно фантастическое свойство сложно-степенных чисел, расшатывающие или, по меньше мере, ставящее под сомнение сами основы математики. Профессионалу до этого дела нет, а вот обывателю – есть: интересно все же! В самом деле: почему все же равенство после возведения его в (n-1)-ю степень превращается в неравенство?! Пока никто из сотни специалистов на эту тему не высказался...

Не может быть! И все-таки… № 11. Формула простого числа
(«Вечный двигатель» третьего рода?)

Мировое математическое сообщество не раз ставило перед математиками сложнейшие задачи, не имея никакой гарантии в их разрешимости, но от решения двух проблем оно отказалось напрочь, отнеся их к разряду заведомо не разрешимых, как и поиск «вечных двигателей».

Первая из них – Великая теорема Ферма, сложное решение которой с помощью современных методов все-таки было найдено и признано верным.

Вторая проблема – поиск Формулы простого числа – представляется гораздо более сложной. К сожалению, формулировка проблемы столь расплывчата, что не позволяет поставить четкую цель, без чего и достигнуть ее невозможно. Это все равно как «пойди туда, не знаю куда»…

Тем не менее, большинство любителей математики представляют себе задачу так: дать простой алгоритм (или формулу) непосредственного вычисления простого числа исходя из каких-то чисел меньшего значения. Так, Пьер Ферма предложил такую формулу: сначала число 2 возведем в целую положительную степень (2, 3, и т.д.) с получением числа р (4, 8, и т.д.), затем число 2 возведем в степень р с получением числа q (16, 256, и т.д.) и, наконец, прибавим к числу q единицу (17, 257, и т.д.). (Эта формула был опровергнута только в середине ХХ века.)

Ввиду отрезанности от математического мира я не могу рассказать о других формулах, описывающих иногда до 8-10 простых чисел. Но зато покажу нечто большее, а именно: странную формулу, описывающую ВСЕ простые числа в интервале от некоторого простого числа q до (q + 1) в квадрате (точнее: до следующего простого числа в квадрате). Это означает следующее: если мы имеем таблицу простых чисел, скажем, до тысячи, то формула позволяет вычислять простые числа по меньшей мере до миллиона и НИКАКОЕ значение функции в этом интервале заведомо не окажется составным числом!

Будет ли мой алгоритм признан Формулой простого числа, покажет будущее (в отличие от элементарного доказательства Великой теоремы Ферма, в ответе на этот вопрос у меня нет и не может быть никакой уверенности).
Вот этот алгоритм.

Формула простых чисел для интервала [q; (q+1)^2], где q – простое число.

1. Возьмем множество Q_k первых k простых чисел в каких-то степенях:
Q_k = (q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4, … q_k = u^nk)
(здесь выражение «_i» означает нижний индекс, а «^ni» – показатель степени);

2. Выберем из этого множества произвольное подмножество из s элементов (0 < s < k) и составим их произведение П_s;

3. Пусть П_t – произведение оставшихся t = k – s элементов.

И теперь
ВCE числа q = П_s – П_t (являющиеся функцией от сочетания s и от степеней n0, n1, … nk) в интервале (q_k ; (q_k)^2) [и даже в интервале (q_k ; (q_k + 1)^2)] есть ПРОСТЫЕ (обозначим их множество буквой Q).
Пример:
Q_4 :
q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4.
Интервал:
7 < q < 9^2 = 81 [< 121].

Q :
11 = 3 x 7 – 2 x 5,
13 = 2^2 x 7 – 3 x 5,
17 = 5 x 7 – 2 x 3^2,
19 = 7^2 – 2 x 3 x 5,
23 = 2 x 3 x 5 – 7,
29 = 5 x 7 – 2 x 3,
31 = 3^2 x 5 – 2 x 7,
37 = 2 x 3 x 7 – 5,
41 = 3 x 5 x 7 – 2^6,
43 = 2 x 5 x 7 – 3^3,
47 = 3 x 5^2 – 2^2 x 7,
53 = 3^2 x 7 – 2 x 5,
59 = 2^4 x 5 – 3 x 7,
61 = 3 x 5^2 – 2 x 7.
67 = 2^4 x 7– 3^2 x 5
71 = 2^3 x 3 x 5 – 7^2,
73 = 3 x 5 x 7 – 2^5,
79 = 2^2 x 3 x 7 – 5,
[А также далее:
83 = 5^3 – 2 x 3 x 7,
89 = 3 x 5 x 7 – 2^4,
97 = 3 x 5 x 7 – 2^3,
101 = 3 x 5 x 7 – 2^2,
103 = 3 x 5 x 7 – 2,
107 = 3^3 x 5 – 2^2 x 7,
109 = 3^3 x 7 – 2^4 x 5,
113 = 2^2 x 5 x 7 – 3^3,
И лишь после этого формула дает сбой: 2 x 3^2 x 7 – 5= 121 = 11 х 11.]
Здесь min(q) = 11.

Но теперь мы можем записать множество
Q_5 :
q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4, q_5 = 11^n5
и вычислить простые числа в интервале
11 < q < 13^2 = 144.
И так далее…