Свое доказательство Великой теоремы Пьер Ферма охрарактеризовал двумя признаками. Во-первых, оно «замечательное», то есть весьма необычно, оригинально. Во-вторых, оно «не умещается на полях», следовательно, объемом строк в десять. Оба признака говорят также о том, что оно весьма просто, и вряд ли великий арифметик мог в нем ошибиться. Именно исходя из этой логики я и искал доказательство Великой теоремы объемом до одной страницы.
Не буду описывать все перипетии на четверть-вековом пути, скажу лишь, что 4 марта с.г. доказательство с указанными признаками я нашел (и сейчас оно проходит тщательную проверку специалистами). Оно оказалось исключительно простым и кратким и в главных моментах доступно пониманию людей со школьным образованием.
Важными инструментами доказательства являются два факта: 1) при аксиоматическом умножении (АВ)С=А(ВС) число А не меняется; 2) при умножении суммы степеней A^n+B^n на степень C^n каждое из двух слагаемых произведения остается степенью:
(A^n+B^n)C^n=(AС)^n+(BС)^n.
И теперь доказательство Великой теоремы вкратце выглядит так.
Известно (и легко показать), что число А (или В) в равенстве Ферма С^n-B^n=А^n (или в равенстве С^n-А^n=В^n) является составным: А=ар и равенство выглядит так:
С^n-B^n=а^n*р^n. А теперь это равенство мы умножим на такое число g^n, что число рg (и p^n*g^n) будет иметь достаточно длинное окончание (длиннее числа C) вида 00...001. И вот НА ЭТОМ ОКОНЧАНИИ от числа (ар)^n (соответственно и от левой части С^n-B^n!) у нас остается ЛИШЬ число а^n, а в левой части равенства – лишь C-B, являющееся разностью степеней c^n-b^n! То есть мы получили новое, причем значительно МЕНЬШЕЕ равенство Ферма: c^n-b^n=а^n. И теперь если в качестве исходного мы из всех равенств Ферма возьмем то, у которого число А наименьшее, то второе, меньшее, равенство быть целочисленным уже не может.
Вот, соственно, и все доказательство.
На формальном математическом языке этот текст записывается в ТРИ строки!
Подробнее о доказательстве я рассказываю ниже.
***
По сути ключевым инструментом доказательства является простая лемма: теорема, известная специалистам и доступная для доказательства способному шестикласснику:
В системе счисления с ПРОСТЫМ основанием q (3, 5, 7, 11, 13...) для любой цифры r (0<r<q) существует такая цифра g, что произведение rg оканчивается на цифру 1. Это видно, например, из последних цифр в таблице умножения для q=7 и r=2: 2*0 = ...0; 2*1 = ...2; 2*2 = ...4; 2*3 = ...6; 2*4 = ...1; 2*5 = ...3; 2*6 = ...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, где никакая цифра не повторяется и, следовательно, среди них есть и 1!
В доказательстве эта Лемма выглядит так:
«Лемма. В системе счисления по простому основанию q [для ВТФ q>C^n!] для однозначного положительного числа r (0<r<q) существует такое g, что rg==1 (mod q) [т.е. последняя цифра произведения rg есть 1]».
Далее я применяю распространенный прием: беру основание q больше всех чисел, участвующих в задаче. Это не сложно, ибо простых чисел бесконечно много.
Затем я сформулирую условие Великой теоремы для НАИМЕНЬШЕГО равенства:
«Пусть для наименьшего A, взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) C^n-B^n=A^n [=(C-B)P – известная формула разложения], где, как известно,
1a°) C-B=a^n и P=p^n, где a>0 и p>0; [эти простые формулы я не доказываю, важно лишь, что A=ap, т.е. содержит ДВА сомножителя]».
Ну и теперь само трехстрочное «Доказательство ВТФ»:
2°) После умножения равенства 1° на g^n, где pg==1 (mod q), на последних цифрах степеней (Ag)^n, (Bg)^n, (Cg)^n мы получаем равенство-двойник Ферма с a^n<A^n :
3°) c^n-b^n=a^n (иное исключается!), что и доказывает истинность Великой Теоремы.
Что значат эти три строчки? С помощью умножения равенства 1° на g^n мы умножили числа А, В, С на g. При этом в числе А мы присоединили множитель g к сомножителю р и в результате в новом числе А получили второй сомножитель рg с ЕДИНИЦЕЙ на конце. В результате число r оединичилось и последняя цифра в числе С стала равной ЛИШЬ первому (однозначному!) сомножителю а, а сама правая часть нового равенства 1° стала равной а^n.
А что же произошло в левой части равенства 1°, с С^n-B^n, после умножения его на g^n? Из двух сомножителей – (С-В) и (p^n*g^n) – числ'а (Сg)^n-(Bg)^n (и в левой, и в правой части равенства Ферма!) последняя цифра второго сомножителя, (p^n*g^n), стала равной 1. В результате мы по последним цифрам c^n, b^n и a^n чисел (Cg)^n, (Bg)^n и (Ag)^n получаем равенство c^n-b^n=a^n, где основания c и b – некоторые целые числа.
В итоге после умножения равенства С^n-B^n=А^n на g^n мы на его последних цифрах (Ag)^n+(Bg)^n=(Cg)^n получаем равенство с^n-b^n=а^n с МЕНЬШИМ основанием в правой части равенства. И мы пришли к абсурду: для наименьшего положительного числа существует число меньшее. Что и доказывает истинность Великой теоремы.
Мезос. 4 марта 2014.
